2022国考行测数量关系备考干货之分类分步的广义与狭义

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很多读者学习数量关系时,第一次接触“分类”与“分步”这两个概念,是在排列组合与概率这一章节。因此,很多人潜意识里会认为分类与分步是排列组合与概率的一个下属小考点。这种认识显然是不全面的,是狭义的。这就好比,我喝了一杯加糖的豆浆,我不能把糖认为是豆浆的附属,众所周知,糖的用途是非常广泛的。鉴于此,本文的主要目的是说清楚分类与分步的狭义与广义,尤其是广义。

我们先从排列组合说起。比如快餐店午餐准备了6荤3素,小明要吃2荤1素,那么,第一步小明要在6个荤菜里选择2个荤菜,第二步,要在3个素菜里选择1个素菜,这就是个分步解决问题的思路,也就是俗称的乘法原理。小红的午餐也是从这6荤3素里选择3道菜,但搭配相对宽松,只需荤素搭配就可以了,那么,摆在小红面前的首要问题是吃2荤1素,还是吃1荤2素,这个问题就是分类,也就是俗称的加法原理。但是,事实上,分步不完全等价于计算乘法,分类也不完全等价于计算加法,这种等价仅仅是被排列组合这个背景绑架了的分类与分步的狭义概念罢了。

接下来,我们把分类与分步的概念适度推广,在数量关系的背景下,分类主要是指在解题过程中,我们思考解决一道题目,需要分为几种情况,分类这里也就相当于分情况的意思。例如,我们看下面这道考题:

某篮球队共有九人,分三组举行三人制篮球赛,他们的球衣号码分别是从1号到9号,分组后发现三组的球衣号码之和不同,且最大和是最小和的两倍。则各组号码之和不可能是下列哪个数?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

第一种情况,也就是“最大和”的极端情况。根据题意“最大和”应有7号、8号、9号组成,“最大和”为24,推出“最小和”为12(例如由3号、4号、5号组成),第三组为1号、2号、6号,之和为9,与上述“最小和”形成矛盾。因此,此情况无效。

第二种情况,鉴于最大和是最小和的两倍,因此最大和必须为偶数。假设“最大和”为22(例如由5号、8号、9号组成),推出“最小和”为11(例如由1号、4号、6号组成),第三组为2号、3号、7号,之和为12,无矛盾,符合题目要求,因此选项B、C不可选。

第三种情况,假设“最大和”为20(例如由3号、8号、9号组成),那么,“最小和”为10(例如由1号、2号、7号组成),第三组为4号、5号、6号,之和为15,无矛盾,符合题目要求,因此选项A不可选。综上,选择D选项。

回顾上述解题思路,实际上就是分情况讨论的过程,也就是分类的过程,但它并不完全等同于加法原理。

我们再来体验分步,在数量关系的背景下,分步主要是指在解题过程中,我们思考解决一个问题,需要分几个步骤,这里的“步”主要指“步骤”。例如,我们看下面这道考题:

一种设备打九折出售,销售12件与原价出售销售10件时获利相同。已知这种设备的进价为50元/件,其他成本为10元/件。问如打八折出售,1万元最多可以买多少件?

A. 80

B. 83

C. 86

D. 90

我们来分析一下这道题目:要想知道1万元最多可以买多少件,就得知道打八折后的单件售价是多少元,要想知道打八折后的单件售价是多少元,就得知道最初的单件售价是多少元。因此,本题的解题步骤大体可分为以下三步:

第一步,求出最初单价售价。设最初单件售价为元,根据“一种设备打九折出售,销售12件与原价出售销售10件时获利相同”,可列方程,解得。

第二步,求出打八折后的单件售价元。

第三步,1万元可以买到的件数为件,即选择B。

回顾上述解题思路,实际上分步骤解决问题的过程,也就是分步的过程,但它也并不完全等同于乘法原理。

我们把分类与分步的概念再度推广,大家看下面两幅图,哪个是分类,哪个是分步呢?

最后,我们以思维导图的形式,把本文脉络进行梳理。

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